Pojdi na vsebino

Fourierova vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Prvi štirje približki Fourierovih vrst za pravokotni val.

Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.

Tako se lahko na primer funkcijo razvije v neskončno vrsto po sinusih:

Lahko pa se neko drugo funkcijo razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri in .

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).

Definicija

[uredi | uredi kodo]

Fourierov obrazec za periodične funkcije

[uredi | uredi kodo]

Naj je periodična funkcija s periodo , ki je integrabilna na intervalu . Števila:

in:

se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo .

Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za , ki se jih označuje z:

Delne vsote za so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije za dajejo približek, ki se približuje vrednosti za , ko gre proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

se imenuje Fourierova vrsta za .

Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu , takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

Zgled periodične funkcije, ki se imenuje žagasti val.
Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierovih vrst.

Zgled

[uredi | uredi kodo]

V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:

V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:

Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti v vsaki točki, kjer je funkcija diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:

Eksponentna Fourierova vrsta

[uredi | uredi kodo]

Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

kjer je:

S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:

Fourierovi koeficienti pa so:

in:

Zelo primerno je uporabiti obliko za tako, da se dobi obrazec v obliki:

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:

kjer:

  • pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka predstavlja čas.

Fourierove vrste v splošnem intervalu

[uredi | uredi kodo]

Obravnava se splošni interval , kjer je s periodo za vsa realna števila definirana funkcija s kompleksnimi koeficienti . Lahko se zapiše:

Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja: ), v intervalu , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo z:

potem je povsod na intervalu enak . Iz tega sledi, da ima periodo enako in, da naslednje

  • sta in povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
  • se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere in .

Fourierove vrste v kvadratu

[uredi | uredi kodo]

Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu :

kjer je:

Hilbertov prostor

[uredi | uredi kodo]
Glavni članek: Hilbertov prostor.

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij tvori ortonormalno bazo prostora za kvadratno integrabilne funkcije v . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa in , ki je definiran kot:

Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

kjer je:

Značilnosti

[uredi | uredi kodo]

Funkcija pripada , če je funkcija s periodo nad in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierov koeficient z .

  • če je periodična liha funkcija, potem so za vse
  • če je periodična soda funkcija, potem so za vse
  • če je integrabilna funkcija velja ter in . To je Riemann-Lebesguov izrek
  • dvojno neskončno zaporedje v je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v , če in samo če je to konvolucija v
  • Parsevalov izrek: če je , potem je tudi
  • Plancherelov izrek: če so koeficienti in velja , potem obstaja funkcija tako, da velja za vsak
  • prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta in v L1([−π, π]), potem velja tudi , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo funkcij in
  • drugi konvolucijski izrek pravi, da je .

Posplošitve

[uredi | uredi kodo]

Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.

Približki in konvergenca Fourierovih vrst

[uredi | uredi kodo]
Gibbsov pojav
Približek reda 10 za pravokotni val.
Približek reda 50 za pravokotni val.
Približek reda 250 za pravokotni val.

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto s končno: . Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost konvergira k , ko gre proti neskončnosti.

Divergenca Fourierovih vrst

[uredi | uredi kodo]

Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudi

[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave

[uredi | uredi kodo]
  • Fourierova vrsta Arhivirano 2013-08-01 na Wayback Machine. (slovensko)
  • Fourierova vrsta na e-študij Arhivirano 2012-03-18 na Wayback Machine. (slovensko)
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Fourier Series«. MathWorld.
  • Apleti za prikaz Fourierovih vrst (angleško)
  • Fourierove vrste (angleško)
  • Učbenik (angleško)
  • Maths Online (angleško)
  • Fourierove vrste in Fourierovi integrali (angleško)